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数学者やグラフィックプログラマは、2つのベクトル間の角度を見つける必要があることがよくあります。幸いにも、この角度を計算するために使用される式は、単純なスカラー積しか必要としません。この式の背後にある理由は、2次元ベクトルを使用すると理解しやすくなりますが、任意の数のコンポーネントを持つベクトルに簡単に適用できます。

手順

パート1：2つのベクトル間の角度を計算する

1. 

   2つのベクトルを特定します。 2つのベクトルに関するすべての既知の情報を書き留めます。このチュートリアルでは、ベクトルが次元座標（別名、 コンポーネント）。あなたがすでに知っているなら モジュール または 標準 これらのベクトル（つまり、それらの長さ）については、以下の手順の一部をスキップできます。
   • 例：2次元ベクトル=（2,2）および=（0,3）を検討します。これらの2つのベクトルは、次のように書き換えることができます= 2私 + 2j e = 0私 + 3j = 3j.
   • この例では2つの2次元ベクトルを使用していますが、次の命令を任意の数のコンポーネントを持つベクトルに適用できます。

2. 

   
   
   コサイン式を記述します。 任意の2つのベクトル間の角度θの値を見つけるには、最初にその角度の余弦を計算する必要があります。数式を詳細に検索して見つけるか、以下のように記述するだけです。
   • cosθ=（•）/（|||| ||||）
   • ||||を表す モジュール ベクトルの（または長さ）。
   • •は スカラー積 2つのベクトルの（または内積）。

3. 

   
   
   各ベクトルの係数を計算します。 コンポーネントによって形成される直角三角形を想像してください バツ ベクトルとその成分 y そしてベクトル自体。この三角形では、ベクトルが斜辺の役割を果たします。したがって、その長さを見つけるために、ピタゴラスの定理を適用します。その結果、この式は、任意の数のコンポーネントを持つベクトルに簡単に適用できます。
   • || u || = u₁ + u₂。ベクトルに3つ以上のコンポーネントがある場合は、+ uを続けます。₃ + u₄ +...
   • したがって、2次元ベクトルの場合は、 || u || =√（u₁ + u₂).
   • この例では、|||| =√（2 + 2）=√（8）= 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   2つのベクトル間のスカラー積を計算します。 ベクトルを乗算する方法も知っているはずです。 スカラー積。 2つのベクトルの成分によるスカラー積を計算するには、成分を同じ方向に乗算し、それらの積の結果を加算します。
   • コンピュータグラフィックスプログラムを使用している場合は、先に進む前に「ヒント」セクションにアクセスしてください。
   • 数学的には、 •= u₁v₁ + u₂v₂、ここでu =（u₁、あなた₂）。ベクトルに3つ以上のコンポーネントがある場合は、+ uを続けます。₃v₃ + u₄v₄...
   • この例では、•= u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6。これは、ベクトルとの間のスカラー積の値です。

5. 

   これらの結果をコサイン式に代入します。 cosθ=（•）/（|||| || ||）を覚えておいてください。 2つのベクトルのスカラー積とモジュールはすでに計算されています。次に、式のこれらの値を置き換えて、角度の余弦を計算します。
   • この例では、cosθ= 6 /（2√2 * 3）= 1 /√2=√2/ 2。

6. 

   コサインに基づいて角度を見つけます。
   計算機の弧または余弦関数を使用して、コサイン値から角度θを決定します。場合によっては、単位円に基づいて角度値を見つけることができる場合があります。
   • この例では、cosθ=√2/ 2です。計算機に「arccos（√2/ 2）」と入力して、角度を見つけます。別のオプションは、cosθ=√2/ 2である単位円の角度θを探すことです。これは、 θ = /₄ または45°.
   • すべての情報をまとめると、最終的な式はθ= arccosine（（•）/（|||| || ||））になります。

パート2：角度を計算するための式を定義する

1. 

   式の目的を理解します。 2つのベクトル間の角度を計算するために使用した式は、既存のルールから派生したものではありません。代わりに、2つのベクトル間のスカラー積とそれらの間の角度の定義として作成されました。ただし、この決定は恣意的ではありません。基本的なジオメトリを詳しく見てみると、この式がこのように有用で直感的な定義になる理由がわかります。
   • 次の例では、2次元のベクターが最も直感的なタイプであるため、これらを使用しています。 3次元以上のベクトルのプロパティは、一般式から定義されています（これも非常によく似ています）。

2. 

   コサイン法則を確認します。 任意の三角形で、辺によって形成される角度θを考えます。 の そして B そして側 ç その角度の反対。コサイン則に従って、c = a + b -2abウエストバンド（θ）。この式のデモンストレーションは、基本的なジオメトリの知識から簡単に取得できます。

3. 

   2つのベクトルを接続して三角形を形成します。 ベクトルのペアを描画し、それらの間に角度θを付けます。次に、それらの間に3番目のベクトルを描画して三角形を形成します。つまり、+ =、または単に=-となるようにベクトルを描画します。

4. 

   この三角形に余弦則を適用します。 私たちの側面の長さを交換してください ベクトル三角形 （つまり、ベクトルモジュール）余弦則の式：
   • ||（a-b）|| = || a || + || b || -2 || a || || b ||ウエストバンド(θ)

5. 

   スカラー積を使用して式を書き直してください。 ドット積は、別のベクトルに投影された1つのベクトルの拡大であることを覚えておいてください。ベクトル自体のスカラー積は、方向に変化がないため、投影を必要としません。これは、•= || a ||であることを意味します。この情報に基づいて、余弦則の方程式を書き直してみましょう。
   • （-）•（-）=•+•-2 || a || || b ||ウエストバンド(θ)

6. 

   式を簡略化します。 方程式の左側にある積を展開し、角度を計算するための既知の式に到達するまで単純化します。
   • •-•-•+•=•+•-2 || a || || b ||ウエストバンド(θ)
   • -•-•= -2 || a || || b ||ウエストバンド(θ)
   • -2（•）= -2 || a || || b ||ウエストバンド(θ)
   • •= || a || || b ||ウエストバンド(θ)

チップ

• すばやく解決するには、次の式を2次元ベクトルのペアに適用します。cosθ=（u₁ •v₁ + u₂ •v₂）/（√（u₁ •あなた₂）•√（v₁ •v₂)).
• コンピュータグラフィックスプログラムを使用する場合、ほとんどの場合、ベクトルの長さではなく、方向のみを知る必要があります。以下の手順に従って、方程式を簡略化し、プログラムを高速化してください。
  • 各ベクトルを正規化します。つまり、元のベクトルと同じ方向の単位ベクトルを見つけます。これを行うには、ベクターの各コンポーネントをベクターモジュールで除算します。
  • 元のベクトルではなく、正規化されたベクトルのスカラー積を計算します。
  • 正規化されたベクトルの係数（つまり、長さ）はユニタリなので、式から外すことができます。角度を計算するための最終的な方程式は、円弧（•）になります。
• コサイン則の式に基づいて、問題の角度が鋭角か鈍角かをすばやく見つけることができます。 cosθ=（•）/（|||| ||||）で開始：
  • 方程式の左辺と右辺は同じ符号（正または負）でなければなりません。
  • 長さは常に正なので、cosθは常にスカラー積と同じ符号になります。
  • したがって、スカラー積が正の場合、cosθは正になります。これは、角度が単位円の第1象限にあること、つまりθ<π/ 2または90°であることを意味します。したがって、角度は鋭角です。
  • スカラー積が負の場合、cosθは負になります。これは、角度が単位円の第2象限にあることを意味します。つまり、π/ 2 <θ≤πまたは90°<θ≤180°です。したがって、角度は鈍角です。