著者:
Vivian Patrick
作成日:
14 六月 2021
更新日:
1 5月 2024
コンテンツ
電卓が到着する前に、生徒と教師の両方が手動で平方根を計算する必要がありました。この恐ろしいプロセスをより適切に処理するために、いくつかの方法が進化してきました。いくつかは近似値をもたらし、その他はより正確な値をもたらします。簡単な操作を使用して手動で平方根を計算する方法を学ぶには、 ステップ1 始める。
ステップ
方法1/2：素因数分解を使用する
数を完全な二乗係数で割ります。 この方法では、数値の因数を使用して平方根を計算します（値によっては、正確な回答または推定された回答になる場合があります）。君は 要因 数のは、それを達成するために乗算する他の任意のセットです。たとえば、要因とは何か、そしてその理由を言うことができます。一方、完全な平方は、他の整数間の乗算から生じる整数です。たとえば、値とは、とで表すことができるため、完全な平方です。ご想像のとおり、完全な平方係数も完全な平方です。素因数分解によって平方根を見つけ始めるには、値を完全な二乗因数に減らします。
- 一例では、手の平方根を計算する必要があります。まず、値を完全な二乗係数に分割します。の倍数であるため、完全な正方形で割り切れることがまだ知られています。簡単な精神的な分割により、それが数の時間に収まることがわかります。これは偶然にも完全な正方形です。したがって、の完全な二乗因子はであり、その理由です。
- 演習の最初の段階は次のように記述されます。
完全な二乗因子の平方根を計算します。 平方根積のプロパティは、任意の値とデータについて、を示しています。このため、因子の平方根を抽出し、それらを乗算して答えを得ることができるようになりました。- 問題の例では、との平方根は次のように抽出されます。
完全に因数分解できない場合は、結果の値を最も単純な項に減らします。 実際には、数値が完全で正確である可能性は低く、係数も完全な平方（など）です。そのような場合、正確な全体の答えを思い付くことができないかもしれません。代わりに、完全な平方である可能性のある要因を決定することにより、より小さく、より単純で、作業しやすい平方根に基づいて答えを計算できます。数を減らして、完全な正方形である要素とそうでない要素の組み合わせにします。次に、結果を単純化します。- の平方根を例として使用するとします。この数は2つの完全な二乗の積ではないため、前の場合のように整数値に到達することはできません。しかし、それは完全な平方と別の数の間の積です-e。このデータは、次のように、最も簡単な用語で回答の検索を進めるために使用されます。
必要に応じて、見積もりを行います。 最も単純な用語で平方根を使用すると、残りの平方根の値を規定し、適切な値を乗算することにより、数値応答を推定する方が簡単です。これらの見積もりをガイドする1つの方法は、平方根の数値の横にある完全な正方形を見つけることです。その数値の小数点以下の桁数はこれらの2つの値の間にあることがわかります。したがって、それらの間に何が存在するかを指定する方が簡単です。- 例に戻ってeであると、eの間にあり、おそらく大きい数に近いことがわかります。見積もると、それがわかります。電卓を使って操作を確認するだけで、真の答えに非常に近づいたことがわかります（）。
- これは、より多くの場合にも機能します。たとえば、との間（おそらく大きい数に近い）であると推定することができます。 eとが両方の値の間にある場合、その平方根もとの間にある可能性があります。それが小さな一歩であることを考慮に入れると、あなたはあなたの平方根が すぐに 値を下回っています。電卓で計算を実行すると、結果が得られます-仮定は正しかったです。
- 例に戻ってeであると、eの間にあり、おそらく大きい数に近いことがわかります。見積もると、それがわかります。電卓を使って操作を確認するだけで、真の答えに非常に近づいたことがわかります（）。
まず、あなたの数に減らします 最小公倍数. 数の素因数（つまり、素数でもある）を決定できる場合は、完全な平方である因数を見つける必要はありません。一般的な倍数の最小値に基づいて、問題の値を書き込みます。次に、互いに一致する素数のペアを探します。これらの要件を満たす2つのオプションを見つけたら、それらを平方根から取り出して配置します a それらの外。
- 例として、この方法での平方根を見つけてみてください。それとあれが知られています。このため、その係数の観点から平方根を書くことができます。根の内側にある2つを取り、そのうちの1つを外側に配置するだけで、最も簡単な用語に到達できます。ここから、簡単に見積もることができます。
- 最後の例として、次の平方根を計算してみてください。
ここでは、平方根の内側にいくつかの値があります-それは素数なので、ペアの1つを取り、ユニットの1つを外側に配置するだけです。- 結果として、最も単純な用語での平方根はまたはになります。ここから、必要に応じての値を見積もることができます。
方法2/2：平方根を手動で計算する
まず、スペースと数字をペアで区切ります。 この方法では、長除算と同様のプロセスを使用して平方根を計算します。 正確、一度に1つの家。重要ではありませんが、視覚的に整理し、数を部分に分割すると、プロセスが簡単になる場合があります。最初に行うことは、作業領域を2つの領域に分割する垂直線を描画し、次に右上近くに小さな水平線を作成して、上部に小さなセクションを作成し、下部に大きなセクションを作成することです。ここで、スペースを数字からコンマで始まるペアで区切ります。たとえば、このルールに従うと、になります。左側のスペースの上部に値を書き込みます。
- 一例では、の平方根を計算してみてください。前の場合と同じように2行で作業領域を分割し、左側のスペースの上部に書き込みます。左側にペアではなく1つの数字しかない場合でも心配はいりません。右上の領域に答え（）を書く必要があります。
平方が左側の数（または数のペア）以下である最大の整数を見つけます。 ペアであろうと孤立した値であろうと、番号の左端の部分から始めます。その数以下の最大の完全な正方形を決定し、その平方根を取ります。この値はで表されます。右上のスペースにそれを書き留め、右下の象限に正方形を書きます。
- この例では、左端の部分が数字です。知られているように、それは二乗が以下である最大の整数値であるため、それを述べることが可能です。上の象限に書き込みます-これは結果の最初の正方形になります。次に、右下の象限に（の二乗）を書き込みます。この値は次のステップで重要になります。
減算 左側に新しく計算されたペア番号。 筆算と同様に、次のステップは、調べたばかりの部分から見つかった二乗を引くことです。この値を最初の部分の下に書き、適切な減算を実行して、以下の答えを書きます。
- この例では、減算を実行するために1つが1つの下に配置されます。ここでの答えはに等しくなります。
次のペアに移動します。 スタディ番号の次の部分を下に移動し、見つけた減算値の横に移動します。次に、右上の値に値を掛けて、右下の象限に答えを書き込みます。次のステップで、乗算問題のためにスペースを区切るだけです。
- この例では、次に使用可能なペアはです。左下の象限の近くを見てください。次に、値にを掛けて取得します。右下隅に書き込み、続いて。
右の象限の空欄に記入してください。 それぞれが同じ整数になります。これは、右側の乗算の結果が左側に現在存在する数以下になることを可能にする最大のものでなければなりません。
- この例では、空白に次の結果を入力します。これはより大きい値です。そうすれば、大きすぎますが、おそらくうまくいくでしょう。空欄に記入して続行します。必要に応じて確認し、右上の象限に数値を記入してください。これは、の平方根の2番目の正方形です。
左側の数値から計算値を引きます。 筆算と同じスタイルで減算を続けます。右の象限で乗算問題の結果を取り、現在左側にある値からそれを引き、答えをすぐ下に置きます。
- この例では、から減算され、結果はになります。
手順4を繰り返します。 平方根が計算されている数値の次の部分まで下にスクロールします。カンマに達したら、右上の象限の答えに小数を記入します。次に、右上の値に乗算し、前と同じように操作を白（）で記述します。
- この例では、カンマに到達しているので、右上の現在の回答の直後にカンマを書き込みます。次に、左象限の次のペア（）を下に移動します。右上の値（）を掛けると、右下の象限に-writeが得られます。
手順5と6を繰り返します。 現在左側にある数値以下の結果が得られる、右側の空白を埋めることができる最大の10進値を見つけます。次に、問題に進みます。
- 例では、これは左側の数（）以下です。高すぎることを観察すると、それがあなたが探している答えであるという結論に達します。右上の象限の次の小数点以下の桁としてそれを書き、左側の数を掛けた結果を引きます：。
小数点以下の桁数の計算を続けます。 ゼロのペアを左にドロップし、 ステップ4, 5 そして 6。さらに精度を上げるには、答えに100分の1、1000分の1などが見つかるまで、このプロセスを繰り返します。目的の小数点以下の桁数に達するまで、このサイクルを続けてください。
プロセスを理解する
平方根が正方形の面積として計算される数を定義します。 この領域には、その辺の1つの長さを表す数式があるため、その値の平方根を見つけようとすると、問題の正方形の長さを計算しようとします。
回答の小数点以下の桁数ごとに変数を指定します。 変数を（計算中の平方根）の小数点以下第1位、2番目、3番目などに設定します。
開始番号の各部分にアルファベット変数を割り当てます。 変数を（初期値）の小数点以下の最初のペア、小数点以下の2番目のペアなどに関連付けます。
この方法と筆算の関係を理解します。 平方根を計算するこの方法は、基本的に、開始数をその平方根で除算する筆算問題です。 与える それに応じてその平方根。関心が一度に1桁の小数点以下に向けられる筆算問題と同様に、ここでは一度に2桁（次の平方根の小数点以下の桁数に対応）に焦点を当てる必要があります。
平方が以下の最大数を見つけます。 回答の小数点以下第1位は、二乗が（so）を超えない最大の整数を表します。例では、、、そうです。
- 一例では、筆算法を使用して除算する場合、最初のステップは同様です。最初の桁（）を探し、乗算すると、または以下になる最大の整数を見つける必要があります。に等しい。基本的に、それはその方法を見つけることについてです。この場合、はに等しくなります。
面積を計算する正方形を視覚化します。 開始番号の平方根である答えは、で表されます。これは、面積の正方形（開始番号）の長さを表します。の値、およびはに存在する小数点以下の桁数を表します。この定義の別の言い方は、小数点以下2桁の回答の場合、小数点以下3桁の回答の場合、というように述べることです。
- 例では、。単位と数十で答えを表すことを忘れないでください。例として、それは数になります。それが正方形の面積を表す場合、それは最大の内部正方形の面積を表し、最小の内部正方形の面積を表し、残りの各長方形の面積を表します。この長くて複雑なプロセスを実行すると、正方形の領域全体が手元にあり、内部の正方形と長方形から計算された領域を追加するだけです。
から減算します。 小数点以下の桁数（）を削除します。式は、最大の内部正方形が差し引かれた正方形のほぼ全体の領域を表します。残りは、順番に、で得られたもので表すことができます ステップ4 （上記の例では）。ここでは、（両方の長方形の面積と最小の正方形の面積）。
を探して、またとして書かれています。 この例では、（）と（）をすでに知っているので、の値を計算する必要があります。おそらく整数値ではないので、次のことを行う必要があります。 本当に 条件を満たす最大の可能性全体を計算します。最後に、あなたは残されます。
操作を解決します。 続行するには、を掛けて、10の位置を変更し（値を掛けるのと同じ）、単位の位置に置き、結果にを掛けます。つまり、操作を実行するだけです。これは、に存在する右下の象限に書き込む（存在する）場合と同じです。 ステップ4。すでに ステップ5、次に、条件を満たす空白スペースに収まる最大の整数値が見つかります。
総面積から面積を引きます。 これにより、これまで無視されていた領域が生成されます（これは、同様の方法で次の正方形を計算するために使用されます）。
次の小数点以下の桁数を計算するには、このプロセスを繰り返すだけです。 の次のペア（）まで下にスクロールして、左に移動し、条件を満たす最大値を探します（小数点以下2桁を伴う値を2回書き込むのと同じです。空白で可能な限り高い小数点以下の値を検索しますこれにより、以前と同様に、以下の結果が得られます。
チップ
- このメソッドは、（10進数の）基数だけでなく、任意の基数で機能します。
- この例では、「休憩」を次のように考えることができます。
- 連分数を使用する別の方法は、次の式に従います。
一例では、の平方根を計算するために、その平方が開始数に最も近い整数は、次のようになります。数式に値を入力して見積もりを切り上げると、すでに結果（最小値）または概算（）が表示されます。次の項は、またはおよそ（）になります。追加の各項は、前の試行と比較して、小数点以下3桁近くの精度を追加します。
警告
- 小数点以下の桁数をコンマからペアで区切ることを忘れないでください。たとえば、どのように分離すると、役に立たない結果がもたらされます。
