平方根に関連する問題を解決する方法

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数学が苦手な方は、平方根のシンボルを見ると悪寒の原因になります。ただし、この演算子に関する問題は、見かけほど難しくはありません。単純な平方根問題は、単純な乗算または除算と同じくらい簡単な場合があります。一方、より複雑な問題はより多くの作業になる可能性があります。それでも、適切なアプローチを使用すれば、それらはすべて簡単に見えます。今平方根問題の練習を開始し、この新しい数学のスキルを学びましょう ラジカル!

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パート1/3：平方根と平方根の概念を理解する

平方根を理解する前に、まず数の平方が何であるかを理解してください。 わかりやすいです。数を二乗するには、単にそれを掛けます。たとえば、3の2乗は3×3 = 9と同じで、9の2乗は9×9 = 81と同じです。正方形は、レイズされる数値の右上にある小さな「2」で表されます。このように：3、9、100など。
- 概念を実践するには、さらにいくつかの数値を二乗してみてください。覚えておいてください、数を二乗することは単にそれを掛けるだけです。負の数でもこれを行うことができますが、この場合、答えは常に正になります。たとえば、-8 = -8×-8 = 64.
平方根を見つけるには、増強の「逆」を見つけます。 ルートシンボル（√、「ラジカル」とも呼ばれます）は、基本的にはシンボルの「反対側」を意味します。部首が表示されたら、次のように自問してみてください。「結果が部首内の数になるように、自分で何を掛ければよいですか？」たとえば、√（9）が表示されたら、その数を2乗して、 9に等しい。この場合、答えは三3 = 9だからです。
- 別の例：25の平方根を見つけましょう（√（25））。これは、2乗して25に等しい数を見つける必要があることを意味します。5= 5×5 = 25なので、√（25）= 5.
- この操作は、正方形の標高を「元に戻す」方法と考えることもできます。たとえば、√（64）、つまり64の平方根を見つける必要がある場合、64は8と考える必要があります。平方根は基本的に標高の2乗を「キャンセル」するので、√（64）=√（8）= 8.
完全な平方数と不完全な平方数の違いを理解します。 これまでのところ、私たちの平方根の問題に対する答えは整数です。それは常に起こりません。実際、放射演算の結果は、長くて複雑な小数になることがあります。数値の根が整数の場合、つまり、分数または小数でない場合は、呼び出されます 完璧な正方形。上記のすべての例（9、25、64）は、平方根が整数（それぞれ3、5、8）であるため、完全な正方形です。
- 一方、根が完全でない数は 不完全な正方形。これらの数値のいずれかの根を計算すると、通常は分数または小数になる結果が得られます。例のように、含まれる小数は非常に複雑になる場合があります。√（13）= 3,605551275464...
少なくとも最初の12個の完全な正方形を記憶してください。 これまでに示したように、数値の平方根の計算は非常に簡単です。したがって、最初のダースの完全な正方形の平方根を覚えておくことが重要です。彼らはテストでたくさん現れる傾向があるので、それらを記憶することはあなたに多くの時間を節約することができます。最初の12個の完全な正方形は次のとおりです。
- 1 = 1 × 1 = 1
- 2 = 2 × 2 = 4
- 3 = 3 × 3 = 9
- 4 = 4 × 4 = 16
- 5 = 5 × 5 = 25
- 6 = 6 × 6 = 36
- 7 = 7 × 7 = 49
- 8 = 8 × 8 = 64
- 9 = 9 × 9 = 81
- 10 = 10 × 10 = 100
- 11 = 11 × 11 = 121
- 12 = 12 × 12 = 144
可能な場合は、完全な正方形を削除して根を単純化します。 計算機がない場合は特に、不完全な正方形の平方根を見つけるのは非常に難しい場合があります（以下のセクションでは、プロセスを簡略化するためのトリックを学びます）。ただし、ルート内の数値を単純化して計算を容易にすることが可能な場合があります。根の内側の数を因子に分割し、完全な二乗である因子の根を計算し、部首の外側に答えを書きます。これは見た目より簡単です。よりよく理解するには、以下を参照してください！
- 900のルートを見つける必要があるとしましょう。最初は、それは非常に難しい作業のようです！ 900を因子に分割すると、すべてがはるかに簡単になります。数値「x」の因数は、乗算すると「x」になる数値のセットです。たとえば、1×6と2×3を乗算すると6が得られるため、6の係数は1、2、3、6です。
- 少し奇妙な900を使用する代わりに、9×100と記述しましょう。完全な正方形である9は100から分離されているので、その平方根を計算できます。 √（9×100）=√（9）×√（100）= 3×√（100）つまり、√（900）= 3√(100).
- 100を因数25と4に分割して、さらに2回簡略化できます。√（100）=√（25×4）=√（25）×√（4）= 5×2 = 10したがって、√ （900）= 3（10）= 30.
虚数を使用して、負の数の根を計算します。 自問してみてください。どの数値を掛け合わせると-16になりますか？これらの2つの数値の2乗は16であるため、4でも-4でもありません。実際、実数のみを使用して、-16の平方根やその他の負の数を書き込む方法はありません。そのような場合、虚数（通常は文字または記号の形式）を使用して、負の数の平方根を置き換える必要があります。たとえば、変数「i」は、-1の平方根を表すために使用されます。原則として、負の数の根は常に虚数になります（または少なくとも含まれます）。
- 虚数は実数で表すことはできませんが、いくつかの方法でそのように扱うことはできます。たとえば、負の数の「-x」の平方根を2乗した場合、他の根と同じように「-x」になります。つまり、i = -1

パート2/3：長い除算のような方法の使用

平方根問題を長い除算であるかのように扱います。 少し面倒ですが、電卓を使用せずに複雑な不完全な平方数の平方根を見つけることができます。方法（またはアルゴリズム）は、長除法の方法（または同じではない）に似ています。長い除算は、手動で除算を計算するために使用される従来の方法です。
- 問題の最初の位置付けから始めます。これは、長分割の場合と同様です。たとえば、6.45の根を見つける必要があるとします。これは完全な正方形ではありません。最初に、平方根記号（√）を記述してから、その中に数値を入れます。次に、記号√から、それが整数全体をカバーするまで線を引き、長い除算の除算器と同じボックス内に残します。違いは、ここでは、従来の除算の場合のように、答えはそのボックスの上であり、下ではないということです。終了すると、6.45の整数をカバーする細長い「√」記号が表示されます。
- このボックスに数字を書いてみましょう。スペースを空けてください。
数字をペアにグループ化します。 問題の解決を開始するには、ステム内の数値の桁を、小数点で始まるペアにグループ化します。ペアの間に小さなマーキング（ピリオド、バー、コンマなど）を作成して、それらを分離できます。
- この例では、次のように6.45を3つのペアに分割します。 6-,45-00。左側の桁が1つ少ないことを確認してください。問題はありません。
二乗が最初の「グループ」の値以下である最大数を見つけます。 左側の最初の数字のペアから始めます。正方形が「グループ」以下の最大数を選択します。たとえば、グループが37の場合、6を選択します。6= 36 <37ですが、7 = 49> 37です。この数値を最初のグループの上に書きます。これが答えの最初の桁です。
- この例では、6-、45-00の最初のグループは6です。2乗が6以下の最初の最大数は、 2、2 = 4であるため。部首の内側にある6の上に「2」を書き込みます。
答えの最初の数字（今見つけた数）を見て、2を掛けます。 次に、最初のグループの下に結果を書き込み、減算を実行して違いを見つけます。次に、次の数値のペアを下にスクロールして、見つけた差に追加します。最後に、最後の数字を左側の解答の最初の数字の2倍にし、その横にスペースを残します。
- この例では、最初のステップは、回答の最初の数字である2の倍数を見つけることです。 2×2 =4。次に、6（最初の「グループ」）から4を引いて、答えとして2を取得する必要があります。次に、次のグループ（45）に移動して245を取得する必要があります。最後に、左側にもう一度4と書き込み、右側に小さな空白スペースを残します（4_）。
空欄を埋める。 ここで、左側に書き込む数字の隣の空白スペースの代わりに数字を配置する必要があります。左側の数字に空白を入れ替えたときに最大値を持つが、右側の数字よりも小さい数字を選択します。これは少し複雑に見えるかもしれませんので、理解するためにいくつかの例を見てみましょう。減少した数値、つまり右側の数値が1700で、右側の数値が40_の場合、404×4 = 1616 <1700および405×5 = 2025なので、空白を数値4で埋めます。この手順で見つかった数字は回答の2桁目になるため、語幹記号の上に追加できます。
- この例では、4_×_の空白を埋めるために、回答を可能な限り大きくし、245以下にする数値を見つける必要があります。この場合、回答は 545×5 = 225および46×6 = 276だからです。
空白を埋める数字を引き続き使用して、回答を作成します。 部首から下がる数を引くことによってゼロを取得し始めるまで、または希望する精度のレベルに達するまで、この修正された長除算方法を続けます。完了すると、各ステップで空白を埋めるために使用される番号（そしてもちろん、最初に使用する番号）が回答数字になります。
- 例を続けると、245から225を減算して20を取得します。次に、数字のペア00を下に移動して2000を取得します。部首の上の数を2倍にすることで、25×2 = 50になります。空白の数を50_×に設定することによって_ = / <2,000、我々は得る 3。この時点で、部首については「253」です。このプロセスをもう一度繰り返すと、次の数字として9が得られます。
答えの正しい位置にコンマを配置します。 答えを完成させるには、小数点を正しい位置に置く必要があります。この部分は簡単です。単に、部首の内側の数字のコンマと同じ位置に、答えのコンマを置くだけです。たとえば、部首の内側の数字が49.8の場合、答えにカンマを入れて、下の1に対応する場所、つまり9と8の上の2つの数字の間に配置します。
- この例では、部首内の数は6.45です。答えを得るには、6と4を超える数値の間にカンマを配置するだけです。この場合は、それぞれ2と5で、答えを取得します。 2,539.

パート3/3：不完全な正方形をすばやく推定する

見積もりから答えを見つけてください。 いくつかの完全な正方形の根が分かれば、不完全な正方形の根を見つけるのははるかに簡単になります。前のステップでは、少なくとも最初の12個の完全な正方形とその根を記憶することをお勧めします。良いニュースは、推定値を使用して、知っている2つの完全な正方形の間にある不完全な正方形の根の近似値を取得できることです。そのためには、目的の数よりも大きい最初の完全な正方形と、最後の小さい方の正方形を見つけて、問題の数が2つの間にあるようにする必要があります。次に、これらの2つの完全な正方形のうち、目的の数の根に最も近いものを見つける必要があります。
- たとえば、40の平方根を見つける必要があるとします。完全な平方を記憶するので、40は6から7の間、つまり36から49の間であると言えます。40は6より大きいため、その平方根は同様に、7未満なので、そのルートは7未満になります。40は49よりも36に少し近いので、答えはおそらく6に近くなります。、見積もりの精度を高めます。
精度を小数点第1位まで上げます。 数値を含む範囲を形成する2つの連続する完全な四角形を見つけたら、見積もりの精度を満足できると思われる点まで増やします。見積もりを改善しようとする試みが多くなればなるほど、精度が高くなります。まず、小数点第1位の値を見積もります。この見積もりは正しい必要はありませんが、ロジックを使用しておそらく回答に最も近い値を選択すると、プロセスが簡単になります。
- この例では、40の平方根の許容可能な推定は次のようになります。 6,4、答えはおそらく7よりも6に少し近いことがすでにわかっているためです。
推定値をそれ自体で乗算します。 あなたが非常に幸運でない限り、結果は開始番号にはなりません（この例では40）。正しい答えに近づくように見積もりを調整する必要があります。結果が開始番号を超えている（つまり、40を超えている）場合は、より低い見積もりを試してください。同様に、結果が希望の数値を下回っている場合は、見積もりを増やします。
- 6.4を掛けて6.4×6.4 = 40,96、最初の数よりわずかに多い。
- 今、私たちの推定値は正しい値を少し上回っていたので、1/10減らして6.3×6.3 = 39,69。その結果、元の数より少し少なくなりました。これは、40のルートがいくつかの数であることを意味します 6.3と6.4の間。さらに、39.69は40.96よりも40に近いため、ルートは6.4ではなく6.3に近いことがわかります。
必要に応じて、見積もりの改善を続けます。 この時点で、答えに満足したら、最初の近似の1つを推定値として使用します。ただし、より正確な答えが必要な場合は、 小数点第2位、前の2つの間（つまり、6.3と6.4の間）の値を選択します。この方法を使用すると、答えに必要な精度のみに応じて、小数点以下3桁、4、5などを推定できます。
- この例では、6.33を選択して、小数点以下2桁まで見積もることができます。 6.33を掛けて6.33×6.33 = 40.0689を計算します。この結果は当初の数値をわずかに上回っていたため、6.32などの少し低い値を選択できます。この場合、6.32×6.32 = 39.9424となり、結果は開始番号をわずかに下回ります。したがって、40の正確な根は 6.32と6.33の間。必要に応じて、この方法を続行して、目的の数値の根の精度をさらに高めることができます。